МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ПЕНЗЕНСКОЙ ОБЛАСТИ
ОТДЕЛ ОБРАЗОВАНИЯ СЕРДОБСКОГО РАЙОНА
МОУ СОШ №9 г. Сердобска
РАССМОТРЕНО
УТВЕРЖДЕНО
на Педагогическом совете
Директор МОУСОШ №9
Протокол № 1
от «27» августа 2025 г.
г.Сердобска
________________________
Кудреватых О.А.
Приказ № 195
от «27» августа 2025 г.
ДОКУМЕНТ ПОДПИСАН
ЭЛЕКТРОННОЙ ПОДПИСЬЮ
Сертификат: 30DFDEA0E3C0AC68387DEF4EA057C7FA
Владелец: Кудреватых Ольга Анатольевна
Действителен: с 19.07.2024 до 12.10.2025
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
(ID 8525296)
учебного предмета Элементарная алгебра
для обучающихся 10 классов
Сердобск 2025г.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Курс «Элементарная алгебра» обеспечивает базу для изучения всех
естественно-научных
курсов,
формирует
логическое
и
абстрактное
мышление учащихся на уровне, необходимом для освоения курсов
информатики, обществознания, истории, словесности. В рамках данного
курса учащиеся овладевают универсальным языком современной науки,
которая формулирует свои достижения в математической форме.
Курс закладывает основу для успешного овладения законами физики,
химии,
биологии,
понимания
основных
тенденций
экономики
и
общественной жизни, позволяет ориентироваться в современных цифровых и
компьютерных технологиях, уверенно использовать их в повседневной
жизни. В тоже время овладение абстрактными и логически строгими
математическими
закономерности,
конструкциями
обосновывать
развивает
истинность
умение
утверждения,
находить
использовать
обобщение и конкретизацию, абстрагирование и аналогию, формирует
креативное и критическое мышление.
Курс обладает значительным воспитательным потенциалом, который
реализуется как через учебный материал, способствующий формированию
научного мировоззрения, так и через специфику учебной деятельности,
требующей
самостоятельности,
аккуратности,
продолжительной
концентрации внимания и ответственности за полученный результат.
В
курсе
«Элементарная
алгебра»
присутствуют
также
основы
математического моделирования, которые призваны сформировать навыки
построения моделей реальных ситуаций, исследования этих моделей с
помощью аппарата алгебры и математического анализа и интерпретации
полученных результатов. Такие задания вплетены в каждый из разделов
программы, поскольку весь материал курса широко используется для
решения прикладных задач.
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УЧЕБНОГО КУРСА
Программа курса «Элементарная алгебра» для 10 класса рассчитана на
34 часа в год, 1 час в неделю.
Основная задача обучения алгебры в школе заключается в обеспечении
прочного и сознательного овладения учащимися системой математических
знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой
деятельности каждому члену современного общества, достаточных для
изучения смежных дисциплин и продолжения образования.
В ходе изучения алгебраического компонента создаются предпосылки
для развития мышления учащихся, формирования у них умения подмечать
закономерности, выдвигать гипотезы и обосновывать их, делать выводы,
проводить правдоподобные и доказательные рассуждения.
В процессе проведения элективного курса в 10 классе следует
продолжать работу, направленную на формирование таких специальных
умений и навыков по данному предмету, которые отвечают таким
требованиям, как правильность, осознанность, автоматизм, рациональность,
обобщенность и прочность.
3
ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА
-формирование у учащихся умения рассуждать, доказывать и осуществлять
поиск решений алгебраических задач на материале алгебраического
компонента 10 класса;
-формирование опыта творческой деятельности, развитие мышления и
математических способностей школьников.
ЗАДАЧИ
-систематизация, обобщение и углубление ранее изученного учебного
материала;
-развитие познавательного интереса школьников к изучению алгебры;
-развитие логического мышления и интуиции учащихся;
-расширение сфер ознакомления с нестандартными методами решения
алгебраических задач.
МЕСТО УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
В учебном плане на изучение курса «Элементарная алгебра» на
базовом уровне отводится 1 час в неделю в 10 классе, всего за год обучения
– 34 часа.
4
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА
10 КЛАСС
Числа и вычисления (4 часа)
Проценты. Основные задачи на сложные и простые проценты 1
Пропорции. Основные свойства прямо и обратно пропорциональные
величины 1
Решение текстовых задач на движение, работу, десятичную форму записи
числа, концентрацию смеси и сплава 2
Алгебраические уравнения (10 часов)
Общие сведения об уравнениях. Целые рациональные алгебраические
уравнения с одним неизвестным первой и второй степени 2
Уравнения высших степеней 2
Иррациональные уравнения 1
Использование нескольких приемов при решении уравнений 2
Уравнения содержащие переменную под знаком модуля 2
Система алгебраических уравнений (5 часов)
Системы линейных уравнений с двумя и тремя переменными.
Обзор методов их решения 2
Использование графиков при решении систем 1
Задачи на составление систем уравнений 2
Алгебраические неравенства (8 часов)
Неравенства с одной переменной. Методы решения (лекция) 2
Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля 2
Иррациональные неравенства 2
Системы неравенств 2
Алгебраические задачи с параметрами (7 часов)
Что такое задача с параметрами. Аналитический подход. Выписывание
ответа (описание множеств решений) в задачах с параметрами (лекция) 2
Рациональные задачи с параметрами (практика) 1
5
ПЛАНИРУЕМЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Личностные результаты освоения программы характеризуются:
Гражданское воспитание:
сформированностью гражданской позиции обучающегося как активного и
ответственного
члена
российского
общества,
представлением
о
математических основах функционирования различных структур, явлений,
процедур гражданского общества (выборы, опросы и пр.), умением
взаимодействовать с социальными институтами в соответствии с их
функциями и назначением.
Патриотическое воспитание:
сформированностью российской гражданской идентичности, уважения к
прошлому и настоящему российской математики, ценностным отношением к
достижениям российских математиков и российской математической школы,
к использованию этих достижений в других науках, технологиях, сферах
экономики.
Духовно-нравственного воспитания:
осознанием
сформированностью
духовных
ценностей
нравственного
российского
сознания,
этического
народа;
поведения,
связанного с практическим применением достижений науки и деятельностью
учёного; осознанием личного вклада в построение устойчивого будущего.
Эстетическое воспитание:
эстетическим отношением к миру, включая эстетику математических
закономерностей,
объектов,
задач,
решений,
рассуждений;
восприимчивостью к математическим аспектам различных видов искусства.
6
Физическое воспитание:
сформированностью умения применять математические знания в
интересах здорового и безопасного образа жизни, ответственного отношения
к своему здоровью (здоровое питание, сбалансированный режим занятий и
отдыха,
регулярная
совершенствования,
физическая
при
активность);
занятиях
физического
спортивно-оздоровительной
деятельностью.
Трудовое воспитание:
готовностью к труду, осознанием ценности трудолюбия; интересом к
различным
сферам
профессиональной
деятельности,
связанным
с
математикой и её приложениями, умением совершать осознанный выбор
будущей профессии и реализовывать собственные жизненные планы;
готовностью
и
способностью
к
математическому
образованию
и
самообразованию на протяжении всей жизни; готовностью к активному
участию в решении практических задач математической направленности.
Экологическое воспитание:
сформированностью экологической культуры, пониманием влияния
социально-экономических процессов на состояние природной и социальной
среды,
осознанием
глобального
характера
экологических
проблем;
ориентацией на применение математических знаний для решения задач в
области окружающей среды, планирования поступков и оценки их
возможных последствий для окружающей среды.
Ценности научного познания:
сформированностью мировоззрения, соответствующего современному
уровню
развития
науки
и
общественной
практики,
пониманием
математической науки как сферы человеческой деятельности, этапов её
развития и значимости для развития цивилизации; овладением языком
математики и математической культурой как средством познания мира;
7
готовностью осуществлять проектную и исследовательскую деятельность
индивидуально и в группе.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Метапредметные результаты освоения программы учебного предмета
«Математика»
характеризуются
познавательными
действиями,
овладением
универсальными
универсальными
коммуникативными
действиями, универсальными регулятивными действиями.
Универсальные
1)
познавательные
действия,
обеспечивают
формирование базовых когнитивных процессов обучающихся (освоение
методов
познания
окружающего
мира;
применение
логических,
исследовательских операций, умений работать с информацией).
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических
объектов, понятий, отношений между понятиями; формулировать
определения понятий; устанавливать существенный признак
классификации, основания для обобщения и сравнения, критерии
проводимого анализа;
воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения:
утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие;
условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и
противоречия в фактах, данных, наблюдениях и утверждениях;
предлагать критерии для выявления закономерностей и
противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и
индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии;
проводить самостоятельно доказательства математических
утверждений (прямые и от противного), выстраивать аргументацию,
8
приводить примеры и контрпримеры; обосновывать собственные
суждения и выводы;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько
вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учётом
самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент познания;
формулировать вопросы, фиксирующие противоречие, проблему,
устанавливать искомое и данное, формировать гипотезу,
аргументировать свою позицию, мнение;
проводить самостоятельно спланированный эксперимент,
исследование по установлению особенностей математического
объекта, явления, процесса, выявлению зависимостей между
объектами, явлениями, процессами;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам
проведённого наблюдения, исследования, оценивать достоверность
полученных результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать
предположения о его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять дефициты информации, данных, необходимых для ответа
на вопрос и для решения задачи;
выбирать информацию из источников различных типов,
анализировать, систематизировать и интерпретировать информацию
различных видов и форм представления;
структурировать информацию, представлять её в различных формах,
иллюстрировать графически;
9
оценивать надёжность информации по самостоятельно
сформулированным критериям.
2)
Универсальные
коммуникативные
действия,
обеспечивают
сформированность социальных навыков обучающихся.
Общение:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с
условиями и целями общения; ясно, точно, грамотно выражать свою
точку зрения в устных и письменных текстах, давать пояснения по
ходу решения задачи, комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы,
проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск
решения; сопоставлять свои суждения с суждениями других
участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций; в
корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента,
исследования, проекта; самостоятельно выбирать формат
выступления с учётом задач презентации и особенностей аудитории.
Сотрудничество:
понимать и использовать преимущества командной и
индивидуальной работы при решении учебных задач; принимать
цель совместной деятельности, планировать организацию совместной
работы, распределять виды работ, договариваться, обсуждать
процесс и результат работы; обобщать мнения нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен
мнений, «мозговые штурмы» и иные); выполнять свою часть работы
и координировать свои действия с другими членами команды;
оценивать качество своего вклада в общий продукт по критериям,
сформулированным участниками взаимодействия.
10
3)
Универсальные
регулятивные
действия,
обеспечивают
формирование смысловых установок и жизненных навыков личности.
Самоорганизация:
составлять план, алгоритм решения задачи, выбирать способ решения с
учётом имеющихся ресурсов и собственных возможностей, аргументировать
и корректировать варианты решений с учётом новой информации.
Самоконтроль:
владеть навыками познавательной рефлексии как осознания
совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов;
владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и
результата решения математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении
задачи, вносить коррективы в деятельность на основе новых
обстоятельств, данных, найденных ошибок, выявленных трудностей;
оценивать соответствие результата цели и условиям, объяснять
причины достижения или недостижения результатов деятельности,
находить ошибку, давать оценку приобретённому опыту.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
10 КЛАСС
Освоение учебного курса «Элементарная алгебра» на уровне среднего
общего
образования
должно
обеспечивать
достижение
следующих
предметных образовательных результатов:
Числа и вычисления
Оперировать понятиями: рациональное
и действительное
число,
обыкновенная и десятичная дробь, проценты.
Выполнять
арифметические
операции
действительными числами.
11
с
рациональными
и
Выполнять приближённые вычисления, используя правила округления,
делать прикидку и оценку результата вычислений.
Оперировать понятиями: степень с целым показателем; стандартная
форма
записи
действительного
числа,
корень
натуральной
степени;
использовать подходящую форму записи действительных чисел для решения
практических задач и представления данных.
Оперировать понятиями: синус, косинус и тангенс произвольного угла;
использовать запись произвольного угла через обратные тригонометрические
функции.
Уравнения и неравенства
Оперировать понятиями: тождество, уравнение, неравенство; целое,
рациональное, иррациональное уравнение, неравенство; тригонометрическое
уравнение;
Выполнять преобразования тригонометрических выражений и решать
тригонометрические уравнения.
Выполнять преобразования целых, рациональных и иррациональных
выражений
и
решать
основные
типы
целых,
рациональных
и
иррациональных уравнений и неравенств.
Применять уравнения и неравенства для решения математических задач
и задач из различных областей науки и реальной жизни.
Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
выражения, уравнения, неравенства по условию задачи, исследовать
построенные модели с использованием аппарата алгебры.
Функции и графики
Оперировать понятиями: функция, способы задания функции, область
определения и множество значений функции, график функции, взаимно
обратные функции.
12
Оперировать понятиями: чётность и нечётность функции, нули
функции, промежутки знак постоянства.
Использовать графики функций для решения уравнений.
Строить и читать графики линейной функции, квадратичной функции,
степенной функции с целым показателем.
Использовать графики функций для
исследования
процессов и
зависимостей при решении задач из других учебных предметов и реальной
жизни; выражать формулами зависимости между величинами.
Начала математического анализа
Оперировать
понятиями:
последовательность,
арифметическая
и
геометрическая прогрессии.
Оперировать
понятиями:
бесконечно
убывающая
геометрическая
прогрессия, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Задавать последовательности различными способами.
Использовать свойства последовательностей и прогрессий для решения
реальных задач прикладного характера.
Множества и логика
Оперировать понятиями: множество, операции над множествами.
Использовать
теоретико-множественный
аппарат
для
описания
реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных
предметов.
Оперировать
понятиями:
определение,
доказательство.
13
теорема,
следствие,
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
10 КЛАСС
№
п/
п
1
Наименова
Количество часов
ние разделов
и тем
Контроль
Всего
программы
Числа и
вычисления
ные
работы
Электронные
Практичес
кие работы
ческие
образовательные
ресурсы
4
Алгебраи
2
(цифровые)
Библиотека ЦОК
10
https://m.edsoo.ru/1
уравнения
568aba3
Система
3
алгебраи
ческих
5
1
уравнений
Алгебраи
4
ческие
8
неравенства
Алгебраи
5
ческие
задачи с
Библиотека ЦОК
7
https://m.edsoo.ru/1
568aba3
параметрами
ОБЩЕЕ
КОЛИЧЕСТВО
ЧАСОВ ПО
34
1
0
ПРОГРАММЕ
14
ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
10 КЛАСС
№
п
Количество часов
Тема урока
/
Контроль
Всего
ные
работы
п
Дата
Практичес
изуче
кие работы
ния
Электронные
цифровые
образователь
ные ресурсы
Раздел 1. Числа и вычисления
Проценты.
Основные
1
задачи на
сложные и
Библиотека ЦОК
1
https://m.edsoo.ru/6
eadc6f1
простые
проценты
Библиотека ЦОК
2
Пропорции
1
https://m.edsoo.ru/d
0f0b260
Решение
текстовых
3
задач на
1
движение,
работу.
Решение
текстовых
задач на
4
десятичную
Библиотека ЦОК
1
https://m.edsoo.ru/5
форму записи
4b815c5
числа,
концентрацию
15
смеси и
сплава.
Раздел 2. Алгебраические уравнения
Общие
5
сведения об
1
уравнениях.
Целые
рациональные
алгебраически
е уравнения с
6
одним
1
неизвестным
первой и
второй
степени.
Уравнения
7
высших
Библиотека ЦОК
1
https://m.edsoo.ru/5
степеней.
4b815c5
Уравнения
8
высших
1
степеней.
9
10
Иррациональн
ые уравнения.
Иррациональн
ые уравнения.
1
1
Использование
11
нескольких
приемов при
1
решении
16
уравнений.
Использование
нескольких
12
приемов при
Библиотека ЦОК
1
https://m.edsoo.ru/5
решении
4b815c5
уравнений.
Уравнения,
содержащие
13
переменную
1
под знаком
модуля
Уравнения,
содержащие
14
переменную
1
под знаком
модуля
Раздел 3. Система алгебраических уравнений
Системы
15
линейных
Библиотека ЦОК
уравнений с
https://m.edsoo.ru/5
двумя и тремя
4b815c5
переменными.
16
Обзор методов
их решения
Использование
17
графиков при
решении
систем
18
Задачи на
17
составление
систем
уравнений
Задачи на
19
составление
систем
1
уравнений
Раздел 4. Алгебраические неравенства
20
21
Неравенства с
Библиотека ЦОК
одной
https://m.edsoo.ru/5
переменной.
4b815c5
Методы
решения.
Неравенства,
содержащие
22
переменную
под знаком
модуля.
Неравенства,
содержащие
23
переменную
под знаком
модуля.
24
Иррациональн
Библиотека ЦОК
ые
https://m.edsoo.ru/5
неравенства.
4b815c5
Иррациональн
25
ые
неравенства.
18
26
27
Системы
неравенств.
Системы
неравенств.
Раздел 5. Алгебраические задачи с параметрами
Что такое
28
задача с
параметрами.
Что такое
29
задача с
параметрами.
30
31
Аналитически
й подход.
Библиотека ЦОК
Аналитически
https://m.edsoo.ru/5
й подход.
4b815c5
Выписывание
ответа
(описание
32
множеств
решений) в
задачах с
параметрами.
Выписывание
ответа
(описание
33
множеств
1
решений) в
задачах с
параметрами.
19
34
Рациональные
Библиотека ЦОК
задачи с
https://m.edsoo.ru/5
параметрами.
4b815c5
ОБЩЕЕ
КОЛИЧЕСТВО
ЧАСОВ ПО
34
2
0
ПРОГРАММЕ
20
ПРОВЕРЯЕМЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ
ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
10 КЛАСС
Код
проверяемого
результата
1
1.1
1.2
1.3
Проверяемые предметные результаты освоения основной
образовательной программы среднего общего образования
Числа и вычисления
Оперировать понятиями: рациональное и действительное число,
обыкновенная и десятичная дробь, проценты
Выполнять арифметические операции с рациональными и
действительными числами
Выполнять
приближённые
вычисления,
используя
правила
округления, делать прикидку и оценку результата вычислений
Оперировать
понятиями:
степень
с
целым
показателем,
стандартная форма записи действительного числа, корень
1.4
натуральной степени; использовать подходящую форму записи
действительных чисел для решения практических задач и
представления данных
Оперировать понятиями: синус, косинус и тангенс произвольного
1.5
угла; использовать запись произвольного угла через обратные
тригонометрические функции
2
Уравнения и неравенства
Оперировать понятиями: тождество, уравнение, неравенство,
2.1
целое, рациональное, иррациональное уравнение, неравенство,
тригонометрическое уравнение
2.2
Выполнять преобразования тригонометрических выражений и
решать тригонометрические уравнения
Выполнять
2.3
преобразования
целых,
рациональных
и
иррациональных выражений и решать основные типы целых,
рациональных и иррациональных уравнений и неравенств
21
Применять
2.4
уравнения
и
неравенства
для
решения
математических задач и задач из различных областей науки и
реальной жизни
Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
2.5
выражения,
уравнения,
неравенства
по
условию
задачи,
исследовать построенные модели с использованием аппарата
алгебры
3
Функции и графики
Оперировать понятиями: функция, способы задания функции,
3.1
область определения и множество значений функции, график
функции, взаимно обратные функции
3.2
3.3
3.4
Оперировать понятиями: чётность и нечётность функции, нули
функции, промежутки знакопостоянства
Использовать графики функций для решения уравнений
Строить и читать графики линейной функции, квадратичной
функции, степенной функции с целым показателем
Использовать графики функций для исследования процессов и
3.5
зависимостей при решении задач из других учебных предметов и
реальной жизни, выражать формулами зависимости между
величинами
4
4.1
Начала математического анализа
Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и
геометрическая прогрессии
Оперировать понятиями: бесконечно убывающая геометрическая
4.2
прогрессия, сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии
4.3
4.4
5
5.1
Задавать последовательности различными способами
Использовать свойства последовательностей и прогрессий для
решения реальных задач прикладного характера
Множества и логика
Оперировать понятиями: множество, операции над множествами
22
Использовать теоретико-множественный аппарат для описания
5.2
реальных процессов и явлений, при решении задач из других
учебных предметов
5.3
Оперировать
понятиями:
определение,
теорема,
следствие,
доказательство
ПРОВЕРЯЕМЫЕ НА ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ТРЕБОВАНИЯ К
РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
Код
Проверяемые требования к предметным результатам
проверяемого
освоения основной образовательной программы среднего
требования
общего образования
Владение методами доказательств, алгоритмами решения задач;
умение формулировать и оперировать понятиями: определение,
аксиома, теорема, следствие, свойство, признак, доказательство,
равносильные
формулировки;
применять
их;
умение
формулировать обратное и противоположное утверждение,
приводить примеры и контрпримеры, использовать метод
1
математической
индукции;
рассуждения
решении
при
проводить
задач,
доказательные
оценивать
логическую
правильность рассуждений; умение оперировать понятиями:
множество, подмножество, операции над множествами; умение
использовать теоретико-множественный аппарат для описания
реальных процессов и явлений и при решении задач, в том числе
из других учебных предметов; умение оперировать понятиями:
граф, связный граф, дерево, цикл, граф на плоскости; умение
задавать
и
описывать
графы
различными
способами;
использовать графы при решении задач
2
Умение оперировать понятиями: натуральное число, целое
число, степень с целым показателем, корень натуральной
23
степени, степень с рациональным показателем, степень с
действительным показателем, логарифм числа, синус, косинус и
тангенс произвольного числа, остаток по модулю, рациональное
число, иррациональное число, множества натуральных, целых,
рациональных, действительных чисел; умение использовать
признаки делимости, наименьший общий делитель и наименьшее
общее
кратное,
алгоритм
Евклида
при
решении
задач;
знакомство с различными позиционными системами счисления;
умение выполнять вычисление значений и преобразования
выражений со степенями и логарифмами, преобразования
дробно-рациональных
выражений;
умение
оперировать
понятиями: последовательность, арифметическая прогрессия,
геометрическая
прогрессия,
геометрическая
бесконечно
прогрессия;
убывающая
умение
задавать
последовательности, в том числе с помощью рекуррентных
формул; умение оперировать понятиями: комплексное число,
сопряжённые
комплексные
комплексного
числа,
форма
числа,
модуль
записи
и
аргумент
комплексных
чисел
(геометрическая, тригонометрическая и алгебраическая); уметь
производить
арифметические
действия
с
комплексными
числами; приводить примеры использования комплексных чисел;
оперировать понятиями: матрица 2×2 и 3×3, определитель
матрицы, геометрический смысл определителя
Умение
оперировать
понятиями:
рациональные,
иррациональные, показательные, степенные, логарифмические,
тригонометрические уравнения и неравенства, их системы;
умение оперировать понятиями: тождество, тождественное
3
преобразование, уравнение, неравенство, система уравнений и
неравенств, равносильность уравнений, неравенств и систем;
умение решать уравнения, неравенства и системы с помощью
различных приёмов; решать уравнения, неравенства и системы с
параметром; применять уравнения, неравенства, их системы для
решения математических задач и задач из различных областей
24
науки и реальной жизни
Умение оперировать понятиями: функция, чётность функции,
периодичность
функции,
ограниченность
функции,
монотонность функции, экстремум функции, наибольшее и
наименьшее значения функции на промежутке, непрерывная
функция,
асимптоты графика функции, первая и вторая
производная функции, геометрический и физический смысл
производной, первообразная, определённый интеграл; умение
находить асимптоты графика функции; умение вычислять
производные суммы, произведения, частного и композиции
4
функций, находить уравнение касательной к графику функции;
умение находить производные элементарных функций; умение
использовать производную для исследования функций, находить
наибольшие и наименьшие значения функций; строить графики
многочленов
с
использованием
аппарата
математического
анализа; применять производную для нахождения наилучшего
решения в прикладных, в том числе социально-экономических и
физических задачах; находить площади и объёмы фигур с
помощью интеграла; приводить примеры математического
моделирования с помощью дифференциальных уравнений
Умение оперировать понятиями: график функции, обратная
функция, композиция функций, линейная функция, квадратичная
функция,
рациональная
функция,
степенная
функция,
тригонометрические функции, обратные тригонометрические
функции, показательная и логарифмическая функции; умение
строить графики изученных функций, выполнять преобразования
5
графиков
функций,
использовать
графики
для
изучения
процессов и зависимостей, при решении задач из других учебных
предметов и задач из реальной жизни; выражать формулами
зависимости между величинами; использовать свойства и
графики функций для решения уравнений, неравенств и задач с
параметрами; изображать на координатной плоскости множества
решений уравнений, неравенств и их систем
25
Умение решать текстовые задачи разных типов (в том числе на
проценты, доли и части, на движение, работу, стоимость товаров
и услуг, налоги, задачи из области управления личными и
семейными финансами); составлять выражения, уравнения,
неравенства и их системы по условию задачи, исследовать
6
полученное решение и оценивать правдоподобность результатов;
умение моделировать реальные ситуации на языке математики;
составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы по
условию
задачи,
использованием
исследовать
аппарата
построенные
алгебры,
модели
с
интерпретировать
полученный результат
Умение
оперировать
понятиями:
среднее
арифметическое,
медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия,
стандартное отклонение числового набора; умение извлекать,
интерпретировать информацию, представленную в таблицах, на
7
диаграммах,
графиках,
отражающую
свойства
реальных
процессов и явлений; представлять информацию с помощью
таблиц и диаграмм; исследовать статистические данные, в том
числе с применением графических методов и электронных
средств; графически исследовать совместные наблюдения с
помощью диаграмм рассеивания и линейной регрессии
Умение оперировать понятиями: случайный опыт и случайное
событие, вероятность случайного события; умение вычислять
вероятность с использованием графических методов; применять
формулы сложения и умножения вероятностей, формулу полной
вероятности, формулу Бернулли, комбинаторные факты и
8
формулы; оценивать вероятности реальных событий; умение
оперировать понятиями: случайная величина, распределение
вероятностей,
стандартное
математическое
отклонение
ожидание,
случайной
дисперсия
величины,
и
функции
распределения и плотности равномерного, показательного и
нормального распределений; умение использовать свойства
изученных распределений для решения задач; знакомство с
26
понятиями:
закон
больших
чисел,
методы
выборочных
исследований; умение приводить примеры проявления закона
больших чисел в природных и общественных явлениях; умение
оперировать
сочетаний,
понятиями:
число
сочетание,
перестановок;
перестановка,
бином
Ньютона;
число
умение
применять комбинаторные факты и рассуждения для решения
задач; оценивать вероятности реальных событий; составлять
вероятностную
модель
и
интерпретировать
полученный
результат
Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость,
пространство, отрезок, луч, величина угла, плоский угол,
двугранный угол, трёхгранный угол, скрещивающиеся прямые,
параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей,
угол между прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол
9
между плоскостями, расстояние от точки
до
плоскости,
расстояние между прямыми, расстояние между плоскостями;
умение использовать при решении задач изученные факты и
теоремы планиметрии; умение оценивать размеры объектов
окружающего мира; строить математические модели с помощью
геометрических понятий и величин, решать связанные с ними
практические задачи
Умение оперировать понятиями: площадь фигуры, объём
фигуры, многогранник, правильный многогранник, сечение
многогранника, куб, параллелепипед, призма, пирамида, фигура
и поверхность вращения, цилиндр, конус, шар, сфера, площадь
сферы, площадь поверхности пирамиды, призмы, конуса,
10
цилиндра,
пирамиды,
объём
куба,
призмы,
прямоугольного
цилиндра,
конуса,
параллелепипеда,
шара,
развёртка
поверхности, сечения конуса и цилиндра, параллельные оси или
основанию, сечение шара, плоскость, касающаяся сферы,
цилиндра, конуса; умение строить сечение многогранника,
изображать многогранники, фигуры и поверхности вращения, их
сечения, в том числе с помощью электронных средств; умение
27
применять свойства геометрических фигур, самостоятельно
формулировать
определения
изучаемых
фигур,
выдвигать
гипотезы о свойствах и признаках геометрических фигур,
обосновывать
или
опровергать
их;
умение
проводить
классификацию фигур по различным признакам, выполнять
необходимые дополнительные построения
Умение оперировать понятиями: движение в пространстве,
параллельный
перенос,
симметрия
на
плоскости
и
в
пространстве, поворот, преобразование подобия, подобные
фигуры; умение распознавать равные и подобные фигуры, в том
числе
в
природе,
искусстве,
архитектуре;
использовать
геометрические отношения при решении задач; находить
геометрические величины (длина, угол, площадь, объём) при
11
решении задач из других учебных предметов и из реальной
жизни; умение вычислять геометрические величины (длина,
угол,
площадь,
объём,
площадь
поверхности),
используя
изученные формулы и методы, в том числе: площадь поверхности
пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, площадь сферы; объём
куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы,
цилиндра, конуса, шара; умение находить отношение объёмов
подобных фигур
Умение
оперировать
понятиями:
прямоугольная
система
координат, вектор, координаты точки, координаты вектора,
сумма векторов, произведение вектора на число, разложение
12
вектора
по
базису,
скалярное
произведение,
векторное
произведение, угол между векторами; умение использовать
векторный и координатный метод для решения геометрических
задач и задач других учебных предметов
Умение выбирать подходящий метод для решения задачи;
понимание значимости математики в изучении природных и
13
общественных процессов и явлений; умение распознавать
проявление законов математики в искусстве, умение приводить
примеры математических открытий российской и мировой
28
математической науки
29
ПЕРЕЧЕНЬ ЭЛЕМЕНТОВ СОДЕРЖАНИЯ,
ПРОВЕРЯЕМЫХ НА ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
Код
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты,
бесконечные периодические дроби
Арифметический
корень
натуральной
степени.
Действия
с
арифметическими корнями натуральной степени
Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем.
Свойства степени
Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус,
арктангенс числового аргумента
Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы
Действительные числа. Арифметические операции с действительными
1.7
числами. Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и
оценка результата вычислений
1.8
Преобразование выражений
1.9
Комплексные числа
2
Уравнения и неравенства
2.1
Целые и дробно-рациональные уравнения
2.2
Иррациональные уравнения
2.3
Тригонометрические уравнения
2.4
Показательные и логарифмические уравнения
2.5
Целые и дробно-рациональные неравенства
2.6
Иррациональные неравенства
2.7
Показательные и логарифмические неравенства
2.8
Тригонометрические неравенства
30
2.9
Системы и совокупности уравнений и неравенств
2.10
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
2.11
Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы
3
3.1
Функции и графики
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные
функции. Чётные и нечётные функции. Периодические функции
Область определения и множество значений функции. Нули функции.
3.2
Промежутки знакопостоянства. Промежутки монотонности функции.
Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение
функции на промежутке
3.3
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Её свойства и
график. Свойства и график корня n-ой степени
3.4
Тригонометрические функции, их свойства и графики
3.5
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики
3.6
3.7
3.8
4
4.1
Точки разрыва. Асимптоты графиков функций. Свойства функций,
непрерывных на отрезке
Последовательности, способы задания последовательностей
Арифметическая
и
геометрическая
прогрессии.
Формула
сложных
процентов
Начала математического анализа
Производная функции. Производные элементарных функций
Применение производной к исследованию функций на монотонность и
4.2
экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
на отрезке
4.3
5
Первообразная. Интеграл
Множества и логика
5.1
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна
5.2
Логика
6
Вероятность и статистика
6.1
Описательная статистика
6.2
Вероятность
31
6.3
7
Комбинаторика
Геометрия
7.1
Фигуры на плоскости
7.2
Прямые и плоскости в пространстве
7.3
Многогранники
7.4
Тела и поверхности вращения
7.5
Координаты и векторы
32
